Question

【题目】以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是(θ为参数)．

(1)写出曲线C1，C2的普通方程；

(2)设曲线C1与y轴相交于A，B两点，点P为曲线C2上任一点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 曲线C1的普通方程为.曲线C2的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2) [32－16，32＋16]．

【解析】

（1）由题得，再把极坐标化成直角坐标,得到C1的普通方程；消参得到C2的普通方程；（2）设P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，求出|PA|2＋|PB|2＝

，再求其取值范围.

(1)由，得.

∴，4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36.∴4x2＋9y2＝36，

即曲线C1的普通方程为.

曲线C2的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.

(2)由(1)知，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，设P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，

则|PA|2＋|PB|2＝(2＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(4＋2sinθ)2＝32＋16sinθ＋16cosθ.

∴|PA|2＋|PB|2∈[32－16，32＋16]，

即|PA|2＋|PB|2的取值范围是[32－16，32＋16]．