题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
为参数).以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设动直线:
分别与曲线
,
相交于点
,
,求当
为何值时,
取最大值,并求
的最大值.
【答案】(1)曲线的极坐标方程是
,曲线
的直角坐标方程是
;(2)当
时,
取最大值,且
.
【解析】
(1) 将C1的参数方程消去可化为普通方程,再利用互化公式
可得C1的极坐标方程.同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)法一:将直线的参数方程分别代入曲线、
的普通方程,求得
,利用
及三角函数的值域可得结果.
法二:将(ρ≥0),代入C1, C2的极坐标方程,分别解得:
.由
结合三角函数的值域可得结果.
(1)曲线的普通方程为
,即
.将
,
代入,
得,所以曲线
的极坐标方程是
.
由,得
.将
,
代入,得
,
所以曲线的直角坐标方程是
.
(2)解法一:设直线的倾斜角为
,则
的参数方程为
(
为参数,且
).
将的参数方程代入曲线
的普通方程,得
,则
.
将的参数方程代入曲线
的直角坐标方程,得
,则
.
所以
,
据题意,直线的斜率存在且不为0,则
,
所以当,即
时,
取最大值,且
.
解法二:设直线的倾斜角为
,则
的极坐标方程为
.
设点,
的极坐标分别为
,
,则
,
.
所以
.
据题意,直线的斜率存在且不为0,则
,
所以当,即
时,
取最大值,且
.
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