题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的一条切线,切点为B,直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线,已知AC=AB.
(1)若CG=1,CD=4.求 的值.
(2)求证:FG∥AC.
【答案】
(1)解:∵四边形DEGF内接于⊙O,
∴∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED.
因此△CGF∽△CDE,可得 =
,
又∵CG=1,CD=4,
∴ =4
(2)解:证明:∵AB与⊙O的相切于点B,ADE是⊙O的割线,
∴AB2=ADAE,
∵AB=AC,
∴AC2=ADAE,可得 =
,
又∵∠EAC=∠DAC,
∴△ADC∽△ACE,可得∠ADC=∠ACE,
∵四边形DEGF内接于⊙O,
∴∠ADC=∠EGF,
因此∠EGF=∠ACE,可得GF∥AC
【解析】(1)根据圆内接四边形的性质,证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED,可得△CGF∽△CDE,因此 =
=4;(2)根据切割线定理证出AB2=ADAE,所以AC2=ADAE,证出
=
,结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE,所以∠ADC=∠ACE.再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF,从而∠EGF=∠ACE,可得GF∥AC.
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