题目内容
17．2015年中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛，中国队与卡塔尔、马尔代夫、不丹、中国香港同处一组．比赛采取主客场积分制，既任意两队分别在自己的国家或地区（主场）和对方的国家或地区（客场）各比赛一场，规定每场胜者得3分，负者得0分，战平各得1分，按积分多少排名．卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手，假设中国队与卡塔尔队在对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜；中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的概率为$\frac{1}{2}$，战平的概率为$\frac{1}{3}$，在客场胜、平、负的概率均为$\frac{1}{3}$，各场比赛结果相互独立．（Ⅰ）求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时中国队积分X的分布列与数学期望．
分析 （Ⅰ）分别求出中国队主场胜、客场胜或平的概率和中国队主场平客场胜的概率求和即可．
（Ⅱ）得出中国队所有可能取得积分，分别求出概率即可．
解答 解：（Ⅰ）中国队主场胜、客场胜或平的概率${p}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
中国队主场平客场胜的概率${p}_{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
∴中国队积分大于卡塔尔队积分的概率$p={p}_{1}+{p}_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$
（Ⅱ）X可能取得值为18，19，20，21，22，24
P（X=18）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$，P（X=19）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
P（X=20）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，P（X=21）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=22）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$，P（X=24）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
∴X的分布列为
| X | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 24 |
| P | $\frac{1}{18}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考查了事件相互独立的概率求解方法，属于常考题型，在考卷中属基础题型．
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