Question

12．已知函数f（x）=3^x+$\frac{x-2}{x+1}$在（-1，+∞）上为增函数，求方程f（x）=0的正根．（精确度为0.01）

Answer 1

分析 易知函数f（x）=3^x+$\frac{x-2}{x+1}$在（-1，+∞）上连续，从而利用二分法求方程的近似解．

解答 解：易知函数f（x）=3^x+$\frac{x-2}{x+1}$在（-1，+∞）上连续，
又∵f（0）=1-2=-1＜0，f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{3}$-1＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上有零点，
故取x=$\frac{1}{4}$，故f（$\frac{1}{4}$）≈-0.08＜0，
故f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上有零点，
故取x=$\frac{3}{8}$，故f（$\frac{3}{8}$）≈0.328＞0，
故f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$）上有零点，
故取x=$\frac{5}{16}$，故f（$\frac{5}{16}$）≈0.124＞0，
故f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{16}$）上有零点，
故取x=$\frac{9}{32}$，故f（$\frac{9}{32}$）≈0.02＞0，
故f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{32}$）上有零点，
故取x=$\frac{17}{64}$，故f（$\frac{17}{64}$）≈-0.03＜0，
故f（x）在（$\frac{17}{64}$，$\frac{9}{32}$）上有零点，
故取x=$\frac{35}{128}$，故f（$\frac{35}{128}$）≈-0.005＜0，
故f（x）在（$\frac{35}{128}$，$\frac{9}{32}$）上有零点，
且|$\frac{35}{128}$-$\frac{9}{32}$|＜0.01；
故方程f（x）=0的正根为$\frac{71}{256}$．

点评 本题考查了方程的近似解的求法．