题目内容
已知椭圆C:的离心率为,
直线:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直
径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于,两点.设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在,求出实数的取值范围,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ).
(Ⅱ)存在满足题意的点(m,0)且实数的取值范围为:.
解析试题分析:(Ⅰ)利用离心率公式,得到,利用直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,得到,得到,从而得到椭圆C的方程.(Ⅱ)通过假设的方程为(),与椭圆方程联立,应用韦达定理确定交点坐标关系,利用“向量法”得到. 将表示成应用导数或均值定理确定的范围.
试题解析:(Ⅰ), 2分
∵直线:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,
∴,解得,则a2="4." 4分
故所求椭圆C的方程为. 5分
(Ⅱ)在轴上存在点,使得是以GH为底边的等腰三角形. 6分
理由如下:
设的方程为(),
由
因为直线与椭圆C有两个交点,所以
所以,又因为,所以.
设,,则. 7分
.
=
.
由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则. 8分
所以.
故.
即
因为,所以.所以.
设,当时,,
所以函数在上单调递增,所以
, 10分
所以 11分
(若学生用基本不等式求解无证明扣1分)
又因为,所以. 所以,.
故存在满足题意的点(m,0)且实数的取值范围为:. 12分
考点:1、椭圆的几何性质,2、直线与椭圆的位置关系,3、平面向量的坐标运算.
练习册系列答案
相关题目