Question

【题目】已知函数f（x）满足 （其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设logax=t，则x=at ， 代入原函数得，
则
（Ⅱ）当a＞1时，ax是增函数，a﹣x是减函数且 ，
所以f（x）是定义域R上的增函数，
同理，当0＜a＜1时，f（x）也是R上的增函数，
又f（﹣x）= =﹣f（x），则f（x）为奇函数
由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0得：f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）…（6分）
所以 ，解得
则实数m的取值范围是（1， ）；
（Ⅲ）因为f（x）是增函数，
所以x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4∈（﹣∞，f（2）﹣4），
又当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，
所以f（2）﹣4≤0，
则f（2）﹣4=
= =
解得 且a≠1，
所以a的取值范围是{a| 且a≠1}
【解析】（Ⅰ）设logax=t求出x=at ， 代入原函数化简求出f（x）的表达式；（Ⅱ）对a分类讨论，分别由指数函数的单调性判断f（x）的单调性，由函数奇偶性的定义判断f（x）是奇函数，由奇函数的性质等价转化f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，结合x的范围和单调性列出不等式，求出实数m的取值范围；（Ⅲ）根据f（x）的单调性和题意求出f（x）的值域，结合条件列出不等式，化简后由一元二次不等式的解法求出a的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．