题目内容
【题目】在的
个元素的子集中,称元素之和为偶数的子集为偶集合,元素之和为奇数的子集为奇集合.试求偶集合数目与奇集合数目之差
.
【答案】见解析
【解析】
先把集合的
个元素的子集按是否包含
分成两组.
在不包含的组中,存在一个偶集合与奇集合之间的一一对应
.
因此,在该组中,偶集合数目与奇集合数目之差为0.
从而,即为包含
的组中偶集合数目与奇集合数目之差,这些集合是由
和集合
中的
个元素组成的.
故. ①
同样地,.
注意到,在的
个元素的子集中偶集合数目与奇集合数目相等.
若,则
为偶集合与奇集合之间的一一对应.
故. ②
因而,. ③
接下来考虑.
仍把集合的
个元素的子集按是否包含
分成两组.
结合式①、③得
. ④
设.则式④为
由,及
,再比较式⑤得
. ⑥
由式①、②、③,及结论⑥得
其中,、
.
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