题目内容

11.已知函数f(x)=$\frac{a(x-1)}{{x}^{2}}$,其中a>0
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0,求a的值
(2)试判断函数f(x)在区间(3,5)上的单调性
(3)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(e=2.71828…是自然底数的对数)

分析 (1)求出导数,求得切线的斜率,由切线方程可得斜率为1,解方程可得a=1;
(2)求出导数,由a>0,和区间(3,5),即可判断函数的单调性;
(3)求出g(x)的导数,对a讨论,分别讨论函数g(x)在[1,e]上的单调性,即可得到最大值.

解答 解:(1)∵$f'(x)=\frac{ax(2-x)}{x^4}=\frac{a(2-x)}{x^3}$,
∵f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0,切线斜率为1,
∴f'(1)=1,∴a=1;
(2)∵$f'(x)=\frac{a(2-x)}{x^3}$,
当x∈(3,5)时,$\frac{2-x}{x^3}<0$,
又a>0,所以∵$f'(x)=\frac{a(2-x)}{x^3}<0$,
所以函数f(x)在区间(3,5)上单调递减;
(3)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a,
令g′(x)>0,即lnx>a-1,得x>ea-1
令g′(x)<0,即lnx<a-1,
考虑到lnx的定义域为x>0,得0<x<ea-1
所以,g(x)在区间(0,ea-1)上为递减函数,
g(x)在区间(ea-1,+∞)上为递增函数,
①当ea-1≤1,即0<a≤1时,g(x)在区间[1,e]上为递增函数,
此时g(x)最大值为g(e)=e+a-ae;
②当ea-1≥e,即a≥2时g(x)在区间[1,e]上为递减函数,
此时g(x)最大值为g(1)=0;
③当1<ea-1<e,即1<a<2时g(x)在区间[1,ea-1]上为递减函数,
在区间[ea-1,e]上为递增函数,此时g(x)的最大值为g(e)和g(1)中较大者,
∵g(e)-g(1)=a+e-ae,令g(e)-g(1)>0,解得$a<\frac{e}{e-1}$,
∵1<a<2∴当$1<a<\frac{e}{e-1}$时,g(x)最大值为g(e)=e+a-ae,
当$\frac{e}{e-1}≤a<2$时,g(x)最大值为g(1)=0.
综上所述,当$0<a<\frac{e}{e-1}$时,g(x)最大值为g(e)=e+a-ae,
当$a≥\frac{e}{e-1}$时,g(x)的最大值为g(1)=0.

点评 本题考查函数与导数基础知识,考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等思想方法,属于中档题.

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