题目内容

16.已知圆C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0).
(1)若点P(4,-1)在圆C外,求r的取值范围;
(2)若直线l:y=x+2被圆C截得的弦AB的长等于该圆的半径,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,已知直线m:y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE.问△CDE的面积有没有最大值?若有最大值,求出直线m的方程;若没有最大值,说明理由.

分析 (1)利用点到圆心的距离大于半径构造r的不等式;
(2)转化为圆心到直线的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,列出r的方程求解即可;
(3)在圆的半径一定的前提下,只需∠DCE最大,此时该三角形为等腰直角三角形,然后可求出圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r$,据此利用点到直线的距离公式可求出n的值.

解答 解:(1)点P到圆心(3,2)的距离$d=\sqrt{(4-3)^{2}+(-1-2)^{2}}=\sqrt{10}$.
所以若点P在圆外,只需r<d,即$0<r<\sqrt{10}$.
(2)若弦长等于半径,则△ABC为等边三角形,则圆心(3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}r$.
所以$\frac{|3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$,解得r=$\sqrt{6}$.
故圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=6.
(3)由(2)知圆C:(x-3)2+(y-2)2=6.
由题意y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE的面积
S=$\frac{1}{2}{r}^{2}sin∠DCE$=3sin∠DCE,当$∠DCE=\frac{π}{2}$时,Smax=3.
此时圆心到直线m:x-y+n=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\sqrt{3}$,
所以$\frac{|3-2+n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$,解得$n=-1±\sqrt{6}$.
所以直线m的方程为$x-y-1+\sqrt{6}=0$或$x-y-1-\sqrt{6}=0$..

点评 直线与圆的位置关系问题,一般最终转化为圆心到直线的距离的问题来解.

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