题目内容
16.已知圆C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0).(1)若点P(4,-1)在圆C外,求r的取值范围;
(2)若直线l:y=x+2被圆C截得的弦AB的长等于该圆的半径,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,已知直线m:y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE.问△CDE的面积有没有最大值?若有最大值,求出直线m的方程;若没有最大值,说明理由.
分析 (1)利用点到圆心的距离大于半径构造r的不等式;
(2)转化为圆心到直线的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,列出r的方程求解即可;
(3)在圆的半径一定的前提下,只需∠DCE最大,此时该三角形为等腰直角三角形,然后可求出圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r$,据此利用点到直线的距离公式可求出n的值.
解答 解:(1)点P到圆心(3,2)的距离$d=\sqrt{(4-3)^{2}+(-1-2)^{2}}=\sqrt{10}$.
所以若点P在圆外,只需r<d,即$0<r<\sqrt{10}$.
(2)若弦长等于半径,则△ABC为等边三角形,则圆心(3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}r$.
所以$\frac{|3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$,解得r=$\sqrt{6}$.
故圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=6.
(3)由(2)知圆C:(x-3)2+(y-2)2=6.
由题意y=x+n被圆截得的弦与圆心C构成三角形CDE的面积
S=$\frac{1}{2}{r}^{2}sin∠DCE$=3sin∠DCE,当$∠DCE=\frac{π}{2}$时,Smax=3.
此时圆心到直线m:x-y+n=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\sqrt{3}$,
所以$\frac{|3-2+n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$,解得$n=-1±\sqrt{6}$.
所以直线m的方程为$x-y-1+\sqrt{6}=0$或$x-y-1-\sqrt{6}=0$..
点评 直线与圆的位置关系问题,一般最终转化为圆心到直线的距离的问题来解.
日期 | 2月14日 | 2月15日 | 2月16日 | 2月17日 | 2月18日 | |
天气 | 小雨 | 小雨 | 阴 | 阴转多云 | 多云转阴 | |
销售量(件) | 白天 | 39 | 33 | 43 | 41 | 54 |
晚上 | 42 | 46 | 50 | 51 | 61 |
(1)画出表中10个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数;
(2)从表中可知:2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天,后三个非雨天平均销售量为100件/天,以此数据为依据,除天气外,其它条件不变.假如明年花市5天每天下雨的概率为$\frac{1}{5}$,且每天是否下雨相互独立,你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品,推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品?
(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6,则称为“值得投资”,那么在(2)条件下,你认为“值得投资”吗?
A. | (6,8) | B. | [8,+∞) | C. | (-∞,6)∪(8,+∞) | D. | (-∞,6]∪[8,+∞) |