Question

设函数f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=1时，f(x)=-

1

6

x6+xk，f′(x)=-xk+kx，
故f'（1）=-1+k=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（k分）

（k）f'（x）=-x^k+kx+m^k-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数f（x）在x=1-m处取得极0值f（1-m），且f（1-m）=-

k

6

m6+mk-

1

6

，
函数f（x）在x=1+m处取得极图值f（1+m），且f（1+m）=

k

6

m6+mk-

1

6

．（6分）

（6）由题设，f(x)=x(-

1

6

xk+x+mk-1)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)，
∴方程-

1

6

xk+x+mk-1=0有两个相异的实根x₁，x_k，
故x1+xk=6，且△=1+

4

6

(mk-1)＞0，∵m＞0
解得m＞

1

k

，（8分）
∵x₁＜x_k，所以kx_k＞x₁+x_k=6，
故x_k＞

6

k

＞1．（10分）
①当x₁≤1＜x_k时，f（1）=-

1

6

（1-x₁）（1-x_k）≥0，而f（x₁）=0，不符合题意，
②当1＜x₁＜x_k时，对任意的x∈[x₁，x_k]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x_k≤0，
则f(x)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x_k]上的最0值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x_k]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m^k-

1

6

＜0，
解得-

6

6

＜m＜

6

6

，
∵由上m＞

1

k

，
综上，m的取值范围是（

1

k

，

6

6

）．（14分）