Question

【题目】已知函数f（x）=log2（2x+1）﹣ ．
（1）证明：对任意的b∈R，函数f（x）=log2（2x+1）﹣ 的图象与直线y= +b最多有一个交点；
（2）设函数g（x）=log4（a﹣2x），若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象至少有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：原问题等价于log2（2x+1）﹣ = +b解的讨论．

因为2x+1=2x+b，即2x（2b﹣1）=1．

当b≤0时，方程无解，即两图象无交点；

当b＞0时，方程有一解，即两图象有一个交点，得证

（2）解：函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象至少有一个交点，

等价于方程log2（2x+1）﹣ =log4（a﹣2x）至少有一个解，

即（2x+1）2=2x（a﹣2x）．

设u=2x＞0，即方程2u2+（2﹣a）u+1=0至少有一个正解．

①当△=（2﹣a）2﹣8=0时，即a=2±2 ，

∵a＞2x＞0，

∴a=2﹣2 不符合题意，

当a=2+2 时，方程有一个正解，符合题意．

②当 时，即a＞2+2 ，此时方程有两个不同的正解．

综上所述：实数a的取值范围是[2+2 ，+∞）

【解析】（1）问题等价于log2（2x+1）﹣ = +b解的讨论，通过讨论b的范围，证明即可；（2）等价于方程log2（2x+1）﹣ =log4（a﹣2x）至少有一个解，即（2x+1）2=2x（a﹣2x），通过讨论判别式△，求出a的范围即可．
【考点精析】掌握复合函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．