题目内容

4．某公园举办花展，其中一个展区平面图如图所示，中间区域是边长为10米的正方形ABCD，两侧区域分别是以AD、BC为直径的半圆，现在中间划出一个三角形区域MPQ，其中M为AB的中点，PQ∥AB，现有甲、乙两种花展出，甲种花的价格为2百元/平方米，填满三角形区域MPQ，乙种花的价格为4百元/平方米，填满其余区域．
（1）当P、Q分别是坐在半圆弧中点时，求该展区总费用（单位：百元）；
（2）求该展区总费用的最小值（单位：百元）

分析 （1）当P、Q分别是坐在半圆弧中点时，分别计算两个区域的面积即可求该展区总费用（单位：百元）；
（2）利用三角换元法求出面积取最值的等价条件即可得到结论．

解答 解：（1）当P、Q分别是坐在半圆弧中点时，
PQ=20米，三角形PQM的高h=5米，
则三角形PQM的面积S=$\frac{1}{2}×20×5=50$平方米，
整个展区的面积S=10×10+π×52=100+25π≈100+78.5=178.5，
则其他区域为178.5-50=128.5，
则对应总费用为2×50+128.5×4=614（百元）．
（2）要使总费用最小，则只需要三角形区域MPQ最大即可，
设PQ交AD于E，半圆的圆心为O，半径OD=OP=5，
设∠POE=θ，0≤x≤$\frac{π}{2}$，
则OP=5，OE=OPcosθ=5cosθ，PE=OPsinθ=5sinθ，
即△PMQ的高为AE=5+5cosθ，
则PQ=2PE+10=10+10sinθ，
则△MPQ的面积S=$\frac{1}{2}$（10+10sinθ）（5+cosθ）
=（5+5cosθ）（5+sinθ）
=25（1+cosθ）（1+sinθ）
=25（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），
设t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
则sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（t2-1），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$，即-1≤t≤1，
则面积等价为S=25[1+t+$\frac{1}{2}$（t2-1）]=$\frac{25}{2}$（t2+2t+1）=$\frac{25}{2}$（t+1）2，
∵-1≤t≤1，
∴当t=1时，面积S取得最大值，此时P为为D点，最大值为S=$\frac{25}{2}$（1+1）2=$\frac{25}{2}$×4=50，
则其他区域的面积S=50+π×52=50+25π≈50+78.5=128.5，
则对应的费用为2×50+128.5×4=614（百元）．

点评 本题主要考查函数的应用问题，利用三角函数换元法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

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