Question

13．求下列函数的值域：
（1）y=1-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（2）y=x+$\frac{1}{x}$+1．

Answer 1

分析 （1）先将函数表达式变形为y=2-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，从而求出函数的值域；（2）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质，从而求出函数的值域．

解答 解：（1）y=1-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=2-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
x=0时，y最小，最小值是0，x→∞时，y→2，
∴函数的值域是[0，2）；
（2）x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时“=”成立，∴y≥3；
x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=-2，当且仅当x=-1时“=”成立，∴y≤-3；
综上：函数的值域是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域问题，考查不等式的性质，是一道基础题．