Question

【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验次.

方式二：混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若不是阳性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（1）若，试求关于的函数关系式；

（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正实数，满足且都有成立.

（ⅰ）求证：数列为等比数列；

（ⅱ）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.

（，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）的最大值为4.

【解析】

（1）由随机变量的概率公式和数学期望，计算可得所求函数的解析式；

（2）（ⅰ）当时可得，当时，可得，两式作差可得即可得证；

（ⅱ）运用（ⅰ）的结论和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求最大值.

解：（1）由已知可得，的所有取值为1，，，，

，

由，可得，即，即，即，

可得，，；

（2）（ⅰ）证明：当时，，即，由，得，

因为当时，，

所以，

两式相减得，

则，可得，因为，所以数列为等比数列，且；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，，可得，即，所以，设，，，当时，，递减，又，，则；

，，则，可得的最大值为4.