题目内容
【题目】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体.如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为2，则这个半正多面体的体积为______.
【答案】
【解析】
设原正四面体为
，可知其棱长为
，再求出
，
，
的长度，在
中，求出正四面体的高
，根据锥体体积公式求出原正四面体为的体积
；同理可求出从原几何体中割去的其中一个小正四面体的体积
，再根据
，即可求出这个半正多面体的体积.
设原正四面体为，如下图所示：
由题意可知，正四面体的棱长
，设
为底面
的中心，
是边
中点，则正四面体的高，则
所以在中，
，
所以原正四面体为的体积为
；
设从原几何体中割去的其中一个小正四面体为
，如下图所示：
则小正四面体的棱长
，设
为底面的中心，
是边
中点，则小正四面体的高
，则
所以在
中，
，
所以小正四面体为的体积为
；
所以从原几何体中割去四个小正四面体体积为
，
所以这个半正多面体的体积为
.
故答案为：.
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