Question

1．若实数x₁，x₂，y₁，y₂满足${（2si{nx}_{1}{-y}_{1}）}^{2}$+${{（x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3}）}^{2}$=0（0＜x₁＜π），则${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{π}^{2}}{18}$
• B． $\frac{{π}^{2}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{6}π$
• D． $\frac{π}{9}$

Answer 1

分析 化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．

解答 解：实数x₁，x₂，y₁，y₂满足${（2si{nx}_{1}{-y}_{1}）}^{2}$+${{（x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3}）}^{2}$=0（0＜x₁＜π），
可得y₁=2sinx₁，并且x₂-y₂+$\sqrt{3}$=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值转化为：函数y=2sinx图象上的点与x-y+$\sqrt{3}$=0图象上的点的距离的最小值，
由y=2sinx可得y′=2cosx．与直线x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直线的斜率为1，所以2cosx=1，
因为0＜x＜π，所以解得x=$\frac{π}{3}$，
切点坐标（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$），与x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直线为：y-$\sqrt{3}$=x-$\frac{π}{3}$，即x-y+$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为：$\frac{\frac{π}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}π$．
故选：C．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查计算能力以及转化思想．