Question

2．当x∈[-4，0]时，a+$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1恒成立，则a的一个可能的值是（　　）

• A． 5
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{5}{3}$
• D． -5

Answer 1

分析 由题意可得$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a，分别作出函数y=$\sqrt{-{x^2}-4x}$和函数y=$\frac{4}{3}$x+1-a的图象，当直线y=$\frac{4}{3}$x+1-a和半圆相切时，由d=r，求得a，再由直线平移，可得a的范围．

解答 解：当x∈[-4，0]时，a+$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1恒成立，即为
$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a，
分别作出函数y=$\sqrt{-{x^2}-4x}$和函数y=$\frac{4}{3}$x+1-a的图象，
当直线y=$\frac{4}{3}$x+1-a和半圆相切时，有圆心（-2，0）到直线的距离为2，
由直线和圆相离可得$\frac{|-\frac{8}{3}+1-a|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}$≥2，
解得a≤-5或a≥$\frac{5}{3}$，
由x=0时，截距为1-a＞0，则a≥$\frac{5}{3}$舍去．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，主要直线和圆的位置关系，通过数形结合的思想方法是解题的关键．