题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数的最大值是
,求
的值;
(2)已知,若存在两个不同的正数
,当函数
的定义域为
时,
的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)对分类讨论,当
时,令
,根据二次函数的性质计算可得;
(2)令,则
,即可判断函数的单调性,函数
的定义域为
时,
的值域为
,可转化为函数
与
有两个正交点
,即
有两个正根,即
有两个大于1的根,再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组,即可解得.
解:(1)当时,
,不合题意;
时,令
,
设,则
.
①若开口向上没有最大值,故
无最大值,不合题意;
②当时,且此时对称轴
,函数
的最大值是
,
所以,
解得或
(舍),
所以.
(2)当时,设
,则
的对称轴
,
所以当时
为增函数,即
为增函数.
所以函数的定义域为
时,
的值域为
,
可转化为函数与
有两个正交点
,
即有两个正根.
即,设
,
所以,
即有两个大于1的根.
所以解得
,
所以实数的取值范围是
.
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