Question

11．证明：函数f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$与函数g（x）=x的图象不相交．

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0），利用导数法，可得F（x）的最大值为-1，即F（x）＜0恒成立，进而得到结论．

解答 证明：令F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0），
则F′（x）=$\frac{x+1-2x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}$，
令F′（x）=0，则x=1，
当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，
故当x=1时，F（x）取最大值-1，
故F（x）＜0恒成立，
即函数f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$与函数g（x）=x的图象不相交．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，其中根据导数法，分析出F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0）的最大值为-1，是解答的关键．