Question

2．设二次函数f（x）=x²+ax+b，若方程f（f（x））=0有4个不同的实根，其中有两个根的和等于-1，则b的取值范围是-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设t=x²+ax+b，则有：t²+at+b=0，且此一元二次方程有两个不相等的实根．则有：a²-4b＞0，即：b＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．同理：t=x²+ax+b，即x²+ax+b-t=0也有两个不相等的实根．再结合方程f（f（x））=0有4个不同的实根，其中有两个根的和等于-1，分类讨论，可得b的取值范围．

解答 解：设t=x²+ax+b，则有：t²+at+b=0，
且此一元二次方程有两个不相等的实根．则有：a²-4b＞0，即：b＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
同理：t=x²+ax+b，即x²+ax+b-t=0也有两个不相等的实根．
则有a²-4（b-t）＞0，即b-t＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
由函数f（x）=x²+ax+b，y=x²+ax+b-t的图象对称轴均为x=-$\frac{a}{2}$，
设方程f（f（x））=0的四个根从小到大依次为：x₁，x₂，x₃，x₄，
则x₁+x₄=-a，x₂+x₃=-a，
则为了满足有2个根的和等于-1，则根的范围为x₃+x₄≥-1或x₁+x₂≤-1．
只有4个根在这个范围内，才有可能存在两个根的和等于-1．
即-2a-（x₁+x₂）≥-1，x₁+x₂≤-1，则a=1．
而可知：t²+at+b=0．
则t₁+t₂=-1，t₁•t₂=b，即-（1+t₁）t₁1=b，-（1+t₂）t₂=b，
而x²+ax+b-t=0，知：x₁+x₄=-1，x₁•x₄=b-t₂＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，x₂+x₃=-1，x₂•x₃=b-t₁＜$\frac{{a}^{2}}{4}$．
则有：x₁•x₄=b-t₂=t₂²-2t₂≥-1，同理x₂•x₃≥-1．
即-1≤x₁•x₄＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，-1≤x₂•x₃＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，其中a=1．
x₁•x₄+x₂•x₃=2b+1．
由-2≤2b+1＜$\frac{1}{2}$，则-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．
则当b=-$\frac{1}{4}$时，t=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
此时x²+ax+b-t=0，当t=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$时，即：x²+x+$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，显然无解．则此时方程只有2个根．
所以答案是b≤-$\frac{1}{4}$的话，b=-$\frac{1}{4}$时，无法成立．
综上：-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．