Question

3．数列（1+$\frac{1}{2}$），（3-$\frac{1}{4}$），（5+$\frac{1}{8}$），…，（2n-1）+（-1）^n-1（$\frac{1}{2}$）ⁿ的前n项和为n²+$\frac{1}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]．

Answer 1

分析 分析题设中的已知条件，把数列的前n项和分为两组[1+3+5+…（2n-1）]+$\frac{1}{2}$[（-$\frac{1}{2}$）⁰+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1]，由此利用等差数列和等比数列的前n项和公式能求出结果．

解答 解：（1+$\frac{1}{2}$），（3-$\frac{1}{4}$），（5+$\frac{1}{8}$），…，（2n-1）+（-1）^n-1（$\frac{1}{2}$）ⁿ的前n项和：
S_n=（1+$\frac{1}{2}$）+（3-$\frac{1}{4}$）+（5+$\frac{1}{8}$）+…+（2n-1）+（-1）^n-1（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=[1+3+5+…+（2n-1）]+$\frac{1}{2}$[（-$\frac{1}{2}$）⁰+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1]
=$\frac{n}{2}[1+（2n-1）]$+$\frac{1}{2}$×$\frac{（-\frac{1}{2}）^{0}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=n²+$\frac{1}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]．
故答案为：n²+$\frac{1}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法、等差数列和等比数列性质的合理运用．