设P1(x1,y1), P1(x2,y2),-, Pn(xn,yn) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, -, an=2构成了一个公差为d 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+-+an. (1)若C的方程为-y2=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标, (2)若C的方程为y2=2px. 点P1(0,0), 对于给定的自然数题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设P₁（x₁,y₁）, P₁（x₂,y₂）,…, P_n（x_n,y_n）（n≥3,n∈N）是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

（1）若C的方程为－y²=1,n=3. 点P₁（3,0）及S₃=162, 求点P₃的坐标；（只需写出一个）

（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）. 点P₁（0,0）, 对于给定的自然数n, 证明：（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²成等差数列；

（3）若C的方程为（a>b>0）. 点P₁（a,0）, 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值.

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	={x,y}	=（x,y）
正切	tg	tan

解：（1） a₁=²=9,由S₃=（a₁+a₃）=162,得a₃=³=99.

由	－y²=1	,得	x=90
	x+y=99		y=9

∴点P₃的坐标可以为（3,3）.

（2）对每个自然数k,1≤k≤n,由题意²=（k－1）d,及

y=2px_k	,得x+2px_k=（k－1）d
x+y=（k－1）d

即（x_k+p）²=p²+（k－1）d,

∴（x₁+p）², （x₂+p）², …,（x_n+p）²是首项为p²,公差为d的等差数列.

（3）解法一：原点O到二次曲线C:（a>b>0）上各点的最小距离为b,最大距离为a.

∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+（n－1）d≥b²,

∴≤d<0. ∵n≥3,>0

∴S_n=na²+d在[,0）上递增,

故S_n的最小值为na²+?=.

解法二：对每个自然数k（2≤k≤n）,

由	x+y=a²+（k－1）d	,解得y=
	+=1

∵0< y≤b²,得≤d<0 ∴≤d<0 以下与解法一相同.

练习册系列答案

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为

-y²=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（x_P，y_P）满足：

时，y_P是否为定值？若是，求出y_P的值，若不是，请说明理由．

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．
（Ⅰ）若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为（1，2），判断点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ）若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(

x+y

+1，

x-y

)，P₁（2，3）．求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为

的收敛圆．

试题分类