已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射.点P在映射f下的象为点Q.记作Q=f(P)．设P1(x1.y1).P2=f(P1).P3=f(P2).-.Pn=f(Pn-1).-．如果存在一个圆.使所有的点Pn(xn.yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上.那么称这个圆为点Pn(xn.yn)的一个收敛圆．特别地.当P1=f(P1)时.则称点P1为映射f下的不动点．在映射f下的象为点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．
（Ⅰ）若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为（1，2），判断点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ）若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(

x+y

2

+1，

x-y

2

)，P₁（2，3）．求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为

5

的收敛圆．

分析：（Ⅰ）①设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），依据对应关系及不动点的定义，列解方程组

x0=2x0

y0=1-y0

，并解即可．
②由P₁（1，2），得P₂（2，-1），P₃（4，2），P₄（8，-1）所以|P₁P₄|=

58

＞6，则点P₁，P₄不可能在同一个半径为3的圆内
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得，

xn+1=

xn+yn

2

+1

yn+1=

xn-yn

2

构造两个等比数列写出它们的通项公式，设A（3，1），，计算P_n到A的距离，可得此距离小于

5

，故所有的点P_n（n∈N^*）都在以 P为圆心，

5

为半径的圆内．

解答：解：（Ⅰ）①解：设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
由题意，得

x0=2x0

y0=1-y0

，解得x0=0， y0=

1

2

，
所以映射f下不动点为P0(0，

1

2

)
②结论：点P_n（x_n，y_n）不存在一个半径为3的收敛圆．
证明：由P₁（1，2），得P₂（2，-1），P₃（4，2），P₄（8，-1），
所以|P₁P₄|=

58

＞6，
则点P₁，P₄不可能在同一个半径为3的圆内，
所以点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）不存在一个半径为3的收敛圆
（Ⅱ）证明：由P₁（2，3），得P2(

7

2

，-

1

2

)．
由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=

xn+yn

2

+1

yn+1=

xn-yn

2

所以x_n+1+y_n+1=x_n+1，x_n+1-y_n+1=y_n+1，
由P_n+2=f（P_n+1），得

xn+2=

xn+1+yn+1

2

+1

yn+2=

xn+1-yn+1

2

，
所以x_n+2=

1

2

xn+

3

2

， yn+2=

1

2

yn+

1

2

即x_n+2-3=

1

2

(xn-3)， yn+2-1=

1

2

(yn-1)，
由x₁-3≠0，x₂-3≠0，得x_n-3≠0，
同理y_n-1≠0，
所以

xn+2-3

xn-3

=

1

2

，

yn+2-1

yn-1

=

1

2

，
所以数列{x_2n-1-3}，{x_2n-3}（n∈N^*）都是公比为

1

2

的等比数列，首项分别为 x1-3=-1， x2-3=

1

2

，
所以x2n-1-3=-(

1

2

)n-1， x2n-3=

1

2

×(

1

2

)n-1，
同理可得y2n-1-1=2×(

1

2

)n-1， y2n-1=-

3

2

×(

1

2

)n-1
所以对任意n∈N^*，|x_n-3|≤1，|y_n-1|≤2，
设A（3，1），则|AP_n|=

(xn-3)2+(yn-1)2

≤

1+4

，
所以|AP_n|≤

5

，
故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A（3，1）为圆心，

5

为半径的圆内或圆上，
即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为

5

的收敛圆

点评：本题考查映射的定义，构造等比数列并求通项公式，两点间的距离公式的应用．考查分析解决问题，阅读处理信息等能力．

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y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

（09年西城区抽样文）（14分）

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

若点在映射f下的象为点.

(Ⅰ) 求映射f下不动点的坐标；

的坐标为(2,2)，求证：点

存在一个半径为2的收敛圆.

（09年西城区抽样理）（14分）

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

(Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

1 求映射f下不动点的坐标；

2 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.

在映射f下的象为点

(2,3). 求证：点

存在一个半径为

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f(P)，设P₁（x₁，y₁），P₂=f(P₁)，P₃=f(P₂)，…，P_n=f(P_n-1)，…。如果存在一个圆，使所有的点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n(x_n，y_n)的一个收敛圆。特别地，当P₁=f(P₁)时，则称点P₁为映射f下的不动点，
(Ⅰ)若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(2x，1-y)，
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为(1，2)，判断点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由；
(Ⅱ)若点P(x，y)在映射f下的象为点

，P₁(2，3)，求证：点P_n(x_n，y_n)(n∈N*)存在一个半径为

的收敛圆。