题目内容

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-x，f′（x）是函数f（x）的导函数，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1）．
（1）猜想an与2n-1的大小关系，并用数学归纳法证明你的结论；
（2）证明：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＜1．

分析 （1）先猜想an与2n-1的大小关系，然后利用数学归纳法证明你的结论；
（2）由（1）得1+an≥2n，$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，然后利用放缩法进行证明不等式．

解答 解：（1）∵f′（x）=x2-1，an+1≥f′（an+1）．
∴an+1≥（an+1）2-1．
∵g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在[-1，+∞）上单调递增，
∴由a1≥1，an+1≥（an+1）2-1．
得a2≥22-1．
进而得到a3≥23-1，猜想an≥2n-1．
用归纳法进行证明：
①当n=1时，a1≥2-1=1成立．
②假设当n=k时，结论成立，即ak≥2k-1．
则当n=k+1时，由（x）=（x+1）2-1=x2+2x在[-1，+∞）上单调递增，
得an+1≥（an+1）2-1≥2k+1+1．即当n=k+1时，结论也成立．
综上由①②得对任意的n∈N•，an≥2n-1恒成立．
（2）由（1）得1+an≥2n，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}•[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）n＜1．

点评 本题主要考查数学归纳法的应用以及不等式的证明，利用放缩法是解决本题的关键．

练习册系列答案
相关题目
11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1（a＞1）的右焦点为F（1，0），过点F且不与坐标轴垂直的直线x=my+1交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0）．
（Ⅰ）当t=0时，求实数m的值；
（Ⅱ）求证：对于任意的实数m，都不存在直线AB，使得AG⊥BG．
12．（1）求（2-$\sqrt{x}$）8展开式中不含x4项的系数的和；
（2）若C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=363，求自然数n的值．
9．已知：x＞0，y＞0，且$\frac{x}{2}$+y+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，则x+2y的取值范围为[2，8]．
16．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是$x=\frac{π}{4}$，若不等式asin2x+cosx-t≥0对$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$恒成立，则t的取值范围是（　　）
A．（-∞，1]B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．（0，1）
6．化简：
$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}$+$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$（x≥1）
13．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x2-2x）的单调递增区间是（-∞，0）．
10．记数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn．
（1）对于等差数列：7，5，3，1，-1，-3，-5，-7，-9，-11…，请计算S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，并找出其中相等的项；
（2）在等差数列{an}中，如果存在相邻两项ak，ak+1，使得ak+ak+1=0（k∈N*），猜想其前n项和Sn的一个正确的结论，使得（1）的结论成为其特例，并加以证明；
（3）类比（2）中的结论，对于等比数列{bn}猜想一个正确的结论，并加以证明．
11．设集合M={-2，0，2}，N={0}，则（　　）
A．N?MB．M?NC．N为空集D．N∈M

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网