题目内容

【题目】正方体的棱长为1分别为的中点.则( )

A.直线与直线垂直B.直线与平面平行

C.平面截正方体所得的截面面积为D.和点到平面的距离相等

【答案】BC

【解析】

利用向量法判断异面直线所成角;利用面面平行证明线面平行;作出正方体的截面为等腰梯形,求其面积即可;利用等体积法处理点到平面的距离.

对选项A:(方法一)以点为坐标原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则.从而,从而,所以与直线不垂直,选项A错误;

(方法二)取的中点,连接,则为直线在平面内的射影,不垂直,从而也不垂直,选项A错误;

的中点为,连接,则,易证,从而,选项B正确;

对于选项C,连接,易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形(如图所示),且,所以,而,从而选项C正确;

对于选项D:(方法一)由于,而,而,所以,即,点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.

(方法二)假设点与点到平面的距离相等,即平面平分,则平面必过的中点,连接于点,易知不是的中点,故假设不成立,从而选项D错误.

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