Question

5．已知函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，9）点，求a的值；
（2）比较$f（lg\frac{1}{100}）与f（-1.9）$的大小，并写出比较过程；
（3）若f（lna）=e²，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把点代入求解，（2）化为f（-2），f（-1.9），讨论利用函数单调性求解判断，（3）a^lna-1=e²，两边取对数化为lna•（lgn-1）=2求解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1），函数y=f（x）的图象经过点P（3，9），
∴a²=9，a=3，
（2）f（lg$\frac{1}{100}$）=f（-2），
当a＞1时，f（x）=a^x-1，单调递增，
∴f（-2）＜f（-1.9），
当0＜a＜1，f（x）=a^x-1，单调递减，
f（-2）＞f（-1.9）
所以，当a＞1时，f（lg$\frac{1}{100}$）＜f（-1.9），
当0＜a＜1，f（lg$\frac{1}{100}$）＞f（-1.9）．
（3）f（lna）=e²，
∴a^lna-1=e²，
∴lna•（lna-1）=2，
即lna=2，或lna=-1，
a=e²或a=$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了指数函数，对数函数的单调性，对数的运算，属于容易题