题目内容

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且8sin2($\frac{A+B}{2}$)+3cos2C=3.
(1)求cosC;
(2)若B=$\frac{π}{2}$,2$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MC}$,求tan∠ABM.

分析 (1)利用两角和公式和二倍角公式求得cosC的值.
(2)设出BC,则AB,AC,AM,CM可知,利用余弦定理求得BM,进而利用正弦定理求得sin∠CBM,则cot∠CBM可求得,最后利用诱导公式求得答案.

解答 解:(1)8sin2($\frac{A+B}{2}$)+3cos2C=8•$\frac{1-cos(A+B)}{2}$+3cos2C=4-4cos(A+B)+3cos2C=4+4cosC+3cos2C=3,
∴3cos2C+4cosC+1=0,
∴6cos2C+4cosC-2=0,
∴cosC=-1或$\frac{1}{3}$,
故cos=$\frac{1}{3}$.
(2)如图:B=$\frac{π}{2}$,cosC=$\frac{1}{3}$,
做MN∥BC,交AB于点N,
设BC=t,则AC=3t,AM=t,CM=2t,AB=2$\sqrt{2}$t,
又由MN∥BC,
则MN=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{t}{3}$,NB=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$t,
tan∠ABM=$\frac{MN}{NB}$=4$\sqrt{2}$.

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.解题过程中运用了转化的思想,求得cosC的值是关键.

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