题目内容
【题目】已知为坐标原点,圆
,定点
,点
是圆
上一动点,线段
的垂直平分线交圆
的半径
于点
,点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点是曲线
上但不在坐标轴上的任意一点,曲线
与
轴的焦点分别为
,直线
和
分别与
轴相交于
两点,请问线段长之积
是否为定值?如果还请求出定值,如果不是请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点坐标为(-1,0),设过点
的直线
与
相交于
两点,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】
试题(1)依题意可得:圆的圆心坐标为
半径为
,
,则
.根据椭圆定义,
是以
,
为焦点,长轴长为4的椭圆,由此即可求出
的方程.(2)设
直线
方程为:
,令
得:
,同理可得:
,所以
,因为点
是
上且不在坐标轴上的任意一点,所以
,可得
,因此
的定值为4.(3)当点
的坐标为(-1,0)时,点
,
,
设直线的方程为:
,
,联立
消
并整理得:
.解得:
,
所以.所以
的面积,
.根据函数单调性,可得
,所以当
即直线
的方程为:
时,
面积的最大值是
.
试题解析:
(1)依题意可得:圆的圆心坐标为
半径为
,
,
则 .
根据椭圆定义,是以
,
为焦点,长轴长为4的椭圆,
设其方程为:,
∴即
,∴
.
∴的方程为:
.
(2)证明:设直线
方程为:
,
令得:
,同理可得:
,
所以.
因为点是
上且不在坐标轴上的任意一点,所以
即,
所以,因此
的定值为4.
(3)当点的坐标为(-1,0)时,点
,
,
设直线的方程为:
,
,
联立消
并整理得:
.
解得:,
所以.
所以的面积,
.
∵,
,∴
在
上为增函数,
∴,所以∴
,
所以当即直线
的方程为:
时,
面积的最大值是
.
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