题目内容
【题目】已知及
.
(1)分别求、
的定义域,并求
的值;
(2)求的最小值并说明理由;
(3)若,
,
,是否存在满足下列条件的正数
,使得对于任意的正数
,
、
、
都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)、
的定义域均为
;
;(2)
,理由详见解析;(3)存在
,满足题设条件.
【解析】
(1)利用被开方数大于可求函数的定义域,直接相乘化简即可;
(2)利用基本不等式求出和
的最小值,由等号同时成立可得出函数
的最小值;
(3)利用构成三角形的条件,两边之和大于第三边转化为恒成立问题,利用(1)(2)的结论可得出实数的取值范围.
(1)由得
,则函数
和
的定义域都为
,
;
(2)由基本不等式得,当且仅当
时,即当
时,等号成立.
由基本不等式得,当且仅当
时,等号成立.
因此,;
(3),
若能构成三角形,只需
,则
恒成立
由(1)知,,
.
,
,
.
综上,存在,满足题设条件
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