题目内容
【题目】
已知椭圆和抛物线
有公共焦点F(1,0),
的中心和
的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线
与抛物线
分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若,求直线
的方程;
(Ⅲ)若坐标原点关于直线
的对称点
在抛物线
上,直线
与椭圆
有公共点,求椭圆
的长轴长的最小值.
【答案】(1)(2)
或
(3)
【解析】
(Ⅰ)由题意,抛物线的方程为:
,
(Ⅱ)设直线的方程为:
.
联立,消去
,得
,
显然,设
,
则①
②
又,所以
③
由①②③消去,得
,
故直线的方程为
或
.
(Ⅲ)设,则
中点为
,因为
两点关于直线
对称,
所以,即
,解之得
,
将其代入抛物线方程,得:
,所以,
.
联立,消去
,得:
.
由,得
,即
,
将,
代入上式并化简,得
,所以
,即
,
因此,椭圆长轴长的最小值为
.
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