题目内容
【题目】已知如图几何体，正方形
和矩形
所在平面互相垂直，
，
为
的中点，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
【答案】（I）见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
（Ⅰ）证明
平面
，利用线面平行的判定，只需证明
平行于平面中以一条线即可，连接
，
，连接
，则
为的中点，根据
为
的中点，可证
；
（Ⅱ）以
为原点，以
，
，为
，
，
轴建立空间直角坐标系，证明法向量垂直，由此可求二面角
的平面角的大小．
（Ⅰ）证明：连接，
，连接，
则为的中点
为的中点，
平面，
平面
平面；
（Ⅱ）解：因为正方形
和矩形
所在平面互相垂直，所以
平面，
以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图取
，
，1，
，
，0，
，
，1，，
，0，，
，1，
，
设平面的法向量为
，，
，
，
，，
，1，
，
，不妨令
，解得
，1，；
同理平面
的法向量为
，1，
，
，
二面角的大小为．
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