题目内容
17.椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的点P到直线x-2y+7=0的距离最大时,点P的坐标是( )A. | (-$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) | B. | ($\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$) | C. | (-1,$\frac{3}{2}$) | D. | (1,-$\frac{3}{2}$) |
分析 利用椭圆的参数方程可以设P(2cosθ,$\sqrt{3}$sinθ),(0≤θ<2π),利用三角函数的辅助角公式,结合余弦函数的值域,即可得到最大值及对应的P的坐标.
解答 解:由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
设m=2cosθ,n=$\sqrt{3}$sinθ,(0≤θ<2π),
则点p(m,n)到直线l:x-2y+7=0的距离
d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ+7|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|4cos(θ+\frac{π}{3})+7|}{\sqrt{5}}$,
∴当cos(θ+$\frac{π}{3}$)=1时,d有最大值为$\frac{11\sqrt{5}}{5}$,
此时由θ+$\frac{π}{3}$=2kπ,k∈Z,可得θ=2kπ-$\frac{π}{3}$,
可得2cosθ=1,$\sqrt{3}$sinθ=-$\frac{3}{2}$,
即为P(1,-$\frac{3}{2}$).
故选:D.
点评 本题主要考查椭圆的参数方程及距离公式,考查三角函数的变换求最值的方法,属于中档题.
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A. | i-2 | B. | i+2 | C. | -2 | D. | 2 |