Question

8．关于函数$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，有下列命题：
①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$为偶函数；
②要得到g（x）=-4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位；
③y=f（x）的图象关于点$（{\frac{π}{6}，0}）$对称；
④y=f（x）的单调递增区间为$[{2kπ-\frac{π}{12}，2kπ+\frac{5π}{12}}]（k∈Z）$．
其中正确的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$=$4sin（2x+\frac{π}{2}）$=4cos2x，即可判断出真假；
②将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位可得：y=$4sin[2（x-\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=-4sin2x，即可判断出真假；
③由于$f（\frac{π}{6}）$=$4sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=0，即可判断出真假；
④由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，即可判断出真假．

解答 解：①$y=f（x+\frac{5π}{12}）$=$4sin（2x+\frac{π}{2}）$=4cos2x为偶函数，正确；
②将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位可得：y=$4sin[2（x-\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=-4sin2x，因此正确；
③由于$f（\frac{π}{6}）$=$4sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{3}）$=0，因此y=f（x）的图象关于点$（{\frac{π}{6}，0}）$对称，正确；
④由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，可得：y=f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，故不正确．
其中正确的序号为 ①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．