Question

2．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦点分别是F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点且A在x轴上方，证明：$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$为定值．

Answer 1

分析 分类讨论．直线方程代入双曲线方程，利用向量的数量积公式、韦达定理，即可得出结论．

解答 证明：双曲线的右焦点为F₂（$\sqrt{5}$，0），左焦点为F₁（-$\sqrt{5}$，0），
（1）当直线AB垂直于x轴时，A（$\sqrt{5}$，4），B（$\sqrt{5}$，-4），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（2$\sqrt{5}$，4）•（2$\sqrt{5}$，-4）=4，
（2）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x-$\sqrt{5}$），
代入双曲线方程，消去y得（4-k²）x²+2$\sqrt{5}$k²x─5k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{5}{k}^{2}}{{k}^{2}-4}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{2}-4}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₁+$\sqrt{5}$，y₁）•（x₂+$\sqrt{5}$，y₂）=x₁x₂+$\sqrt{5}$（xx₁+x₂）+5+k²（xx₁-$\sqrt{5}$）（xx₂-$\sqrt{5}$）=4，
综上所述，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$为定值4．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积公式、韦达定理的运用，要注意斜率不存在的情况．