Question

【题目】设函数（其中）．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点．

【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数的定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.

试题解析：（1）函数的定义域为，，

①当时，令，解得.

∴的单调递减区间是，单调递增区间是，

②当时，令，解得或.

∴在和上单调递增，在上单调递减.

③当时，，在上单调递增.

④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；

（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，当时，.

又∵在上单调递增

∴在上有唯一的零点

∴函数在定义域上有唯一的零点，

②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；当时，，.

令，则，

∵在上单调递增，，

∴在上单调递增，得，即.

∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．

综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．