题目内容

【题目】已知函数f(x)的定义域为{x|xR,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.

(1)求证:f(x)是偶函数;

(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

【答案】(1)见解析 (2)见解析

【解析】证明: (1)因对定义域内的任意x1、x2都有

f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),

令x1=x,x2=-1,

则有f(-x)=f(x)+f(-1).

又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1).

再令x1=x2=1,得f(1)=0,

从而f(-1)=0,

于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

(2)设0<x1<x2

则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·)=f(x1)-[f(x1)+f()]=-f(),

由于0<x1<x2,所以>1,从而f()>0,

故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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