Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C，过点C作AC的垂线，交AD的延长线于点E．

（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）若AD=2， = ，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接线段DB，

因为DC为⊙O的切线，

所以∠DAB=∠BDC，

又因为AB为⊙O的直径，BD⊥AE，

所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，

所以∠CDE=∠AEC，

从而△CDE为等腰三角形．

（2）解：由（1）知CD=CE，

因为DC为⊙O的切线，

所以CD2=CBCA，

所以CE2=CBCA，即 = = ．

又Rt△ABD∽Rt△AEC，故 = = ．

因为AD=2，所以BD=1，AB= ，S=π = ，

所以⊙O的面积为 ．

【解析】（1）连接线段DB，利用垂直关系证明∠CDE=∠AEC，即可得出△CDE为等腰三角形；（2）利用相似三角形求出圆O的直径，即可求出圆的面积．