Question

【题目】给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点

（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：

（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2)过原点

【解析】试题分析：（1）分析直线的斜率是否存在，若不存在不符合题意，当存在时设直线，根据直线与圆的关系中弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形求解即可；（2）设直线的方程分别为，设点，联立得得同理，计算，同理因为，可得，从而可证.

试题解析：

（1）因为点是椭圆上的点.

即椭圆

伴随圆得同理，计算

当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点

当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得

由直线与椭圆有且只有一个公共点得

解得，由对称性取直线即

圆心到直线的距离为

直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长

（2）设直线的方程分别为

设点

联立得

则得同理

斜率

同理因为

所以 三点共线