题目内容
【题目】给定椭圆,称圆
为椭圆
的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点
(1)若过点的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长:
(2)是椭圆
上的两点,设
是直线
的斜率,且满足
,试问:直线
是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
【答案】(1) (2)过原点
【解析】试题分析:(1)分析直线的斜率是否存在,若不存在不符合题意,当存在时设直线,根据直线与圆的关系中弦心距,半径,半弦长构成的直角三角形求解即可;(2)设直线
的方程分别为
,设点
,联立
得得
同理
,计算
,同理
因为
,可得
,从而可证.
试题解析:
(1)因为点是椭圆
上的点.
即椭圆
伴随圆
得
同理
,计算
当直线的斜率不存在时:显然不满足
与椭圆
有且只有一个公共点
当直接的斜率存在时:设直线
与椭圆
联立得
由直线与椭圆
有且只有一个公共点得
解得,由对称性取直线
即
圆心到直线的距离为
直线被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长
(2)设直线的方程分别为
设点
联立得
则得
同理
斜率
同理因为
所以
三点共线
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目