题目内容
【题目】已知函数,函数
.
⑴若的定义域为
,求实数
的取值范围;
⑵当,求函数
的最小值
;
⑶是否存在实数,使得函数
的定义域为
,值域为
?若存在,求出
的值;若不存在,则说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
【解析】
(1)因为的定义域为
,所以
对任意实数
恒成立.当m=0时显然不满足,当m不为0时,内层函数为二次函数,需要开口向上且判别式小于0,即可满足要求.
(2)x∈[-1,1]时,求函数是一个复合函数,复合函数的最值一般分两步来求,第一步求内层函数的值域,第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值,本题内层函数的值域是确定的一个集合,而外层函数是一个系数有变量的二次函数,故本题是一个区间定轴动的问题.
(3) 根据函数的单调性,列出方程组 转化为:即m、n是方程
的两非负实根,且m<n.即可得解.
(1)由题意对任意实数
恒成立,
∵时显然不满足
∴
∴
(2)令,则
∴
(3)∵
∴ ∴
∴ 函数在[
,
]单调递增,
∴ 又∵
∴ ,
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