题目内容
【题目】如图, 是圆
的直径,点
是圆
上异于
的点,
垂直于圆
所在的平面,且
.
(1)若为线段
的中点,求证
平面
;
(2)求三棱锥体积的最大值;
(3)若,点
在线段
上,求
的最小值.
【答案】(1)见解析(2)(3)
.
【解析】试题分析:
(1)由等腰三角形三线合一可得,由线面垂直的定义可得
,最后利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
(2)当底面ABC面积最大时,三棱锥体积由最大值,由几何关系可得当时,
面积的最大值为
,结合三棱锥体积公式可得三棱锥
体积的最大值为
.
(3)将将侧面绕
旋转至平面C
,使之与平面
共面,由平面几何的知识可知
,
,
共线时,
取得最小值.结合筝形的性质计算可得
的最小值为
.
试题解析:
(1)在中,因为
,
为
的中点,所以
.
又垂直于圆
所在的平面,所以
.
因为,所以
平面
.
(2)因为点在圆
上,所以当
时,
到
的距离最大,且最大值为
.
又,所以
面积的最大值为
.
又因为三棱锥的高
,
故三棱锥体积的最大值为
.
(3)在中,
,
,所以
.
同理,所以
.在三棱锥
中,将侧面
绕
旋转至平面C
,使之与平面
共面,如图所示.
当,
,
共线时,
取得最小值.
又因为,
,所以
垂直平分
,即
为
中点.
从而,
亦即的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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