题目内容
【题目】设函数f(x)＝x＋ax2＋b·ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
【答案】(1)a＝－1，b＝3.(2)证明见解析.
【解析】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax＋
.（1分）
由已知条件得
即
解得a＝－1，b＝3. （4分）
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋
＝－[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2013/4/25/1571196938878976/1571196944596992/EXPLANATION/95d34fb08ffd4817a1bd97b607440f2a.png]. （6分）
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．（8分）
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）
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【题目】电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：
.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
