Question

17．已知顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点F重合，过抛物线准线与x轴交点E作直线l与抛物线相交于两个不同的点M、N
（1）求抛物线的标准方程；
（2）当以线段MN为直径的圆经过点F时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为：y²=2px （p＞0），则$\frac{p}{2}$=1，从而可得结论；
（2）通过根据题意可设直线l方程为：y=kx+k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，结合韦达定理及$\frac{1}{2}$MN=CF，计算即可．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线方程为：y²=2px （p＞0），
∴其焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可知F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴抛物线的标准方程为y²=4x；
（2）∵抛物线y²=4x的准线为x=-1，∴E（-1，0），
根据题意可设直线l方程为：y=kx+k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由韦达定理知x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2k=$\frac{4}{k}$，
y₁•y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）
=k²（x₁•x₂+x₁+x₂+1）
=k²（$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$+2）
=4，
∴C（$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=4$\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}-1}$，
CF=$\sqrt{（\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}-1）^{2}+（\frac{2}{k}）^{2}}$
=2$\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}-\frac{1}{{k}^{2}}+1}$，
∵以线段MN为直径的圆经过点F，
∴$\frac{1}{2}$MN=CF，即$\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}-1}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}-\frac{1}{{k}^{2}}+1}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、两点间距离公式等知识，考查分析问题、解决问题及计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．