Question

已知数列{a_n}满足：a1=-1，an+1=(1+cos2

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；并证明：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），m∈N^*
（2）设fn(x)=

1

2

+rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]+r3cos[(a5+2)x]+…+rn-1cos[(a2n-3+2)x]（n≥2，n∈N^*）
①证明：对任意x∈R，当|r|≤

1

2

时，rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]≥-

3

8

②证明：当|r|≤

1

2

，f_2n+1（x）对任意x∈R和自然数n（n≥2）都有f_2n+1（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）将已知条件化简为a_n+1=[1+

1+cosnπ

2

]a_n+

1-cosnπ

2

，而a₁=-1，可求得a₂，a₃，a₄；并能证明：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），m∈N^*
（2）①讨论r，在r≠0的情况，利用二次函数的最值，结合r的范围运用放缩法证明；
②利用放缩法将所求转化，并运用等比数列求和，再结合r的范围放缩证明．

解答：解：（1）∵a_n+1=[1+

1+cosnπ

2

]a_n+

1-cosnπ

2

，a₁=-1，
∴a₂=a₁+1=0，a₃=2a₂=0，a₄=a₃+1=1；
a_2m+1=2a_2m=2a_（2m-1）+1
=2{[1+

1+cos(2m-1)π

2

]a_2m-1+

1-cos(2m-1)π

2

}
=2（a_2m-1+1），
∴a_2m+1+2=2a_2m-1+4=2（a_2m-1+2）．m∈N^*
（2）由（1）可得：a_2m+1+2是以1为首项，2为公比的等比数列，故a_2m+1+2=2^m，
∴a_2m+1=2^m-2，
∴f_n（x）=

1

2

+rcosx+r²cos2x+r³cos4x+…+r^n-1cos2^n-2x．（n≥2，n∈N^*）
①证明：1°当r=0时，显然0≥-

3

8

，
2°当r≠0时，设φ（x）=rcosx+r²cos2x=r²（2cos²x-1）+rcosx
=2r2(cosx+

1

4r

)2-

1

8

-r2≥-

1

8

-r2≥-

1

8

-(

1

2

)2=-

3

8

．（|r|≤

1

2

）
当|r|≤

1

2

时，，?x∈R，?n∈N*（n≥2），
②证明：f2n+1=

1

2

+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x+…+r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x
=

1

2

+φ(x)+r2φ(4x)+…+r2(n-1)•φ(4n-1x)
≥

1

2

-

3

8

(1+r2+…+r2(n-1))
≥

1

2

-

3

8

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)
=

1

2

-

3

8

•

1- 1 4n

1- 1 4

=

1

2•4n

=

1

22n+1

＞0．

点评：本题是不等式的综合题，关键是灵活运用放缩法将不等关系“细化”，放缩法证明不等式是高考的难点，也是综合题里的常考点，属于难题．