题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，有
，椭圆的离心率为
；
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知
，过点
作直线
与椭圆交于
不同两点，线段
的中垂线为
，线段的中点为
点，记与
轴的交点为
，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）运用椭圆的定义可得a，再由离心率公式可得c，b，进而得到椭圆方程；
（2）设l：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得Q的坐标，求得直线
的方程，可得M的坐标，运用两点距离公式可得|MQ|，运用换元法，结合二次函数的性质可得所求范围．
（1）因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
， 所以
，
所以椭圆
的标准方程为．
（2）由题意可知直线
的斜率存在，设：
，
，
，
，
联立直线与椭圆
，消去
得
，
，
，
又
，解得：
，
，
，
所以
，
所以：
，即
，
化简得：
，
令
，得
，即
，
，
令
，则
，16
所以
，
所以．
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