题目内容

【题目】设函数的定义域为,对于区间,若满足,则称区间为函数区间.

1)证明:区间是函数区间;

2)若区间是函数区间,求实数的取值范围;

3)已知函数在区间上的图象连续不断,且在上仅有个零点,证明:区间不是函数区间.

【答案】1)证明见解析(23)证明见解析

【解析】

1)根据题中定义代入验证即可证出;

2)根据题中的新定义可得,由上单调递减,可得,只需即可求解.

3)利用零点存在定理可得函数上至少存在两个零点,由题意可得函数上不存在零点,由,可得,从而可得,结合定义即可求解.

1)设,若,则

所以

,满足定义

所以区间是函数区间,

2)因为区间是函数区间,

所以使得

因为上单调递减,

所以

所以

故所求实数的取值范围为

3)因为

所以上存在零点,

又因为

所以函数上至少存在两个零点.

因为函数在区间上仅有个零点.

所以上不存在零点.

又因为,所以

所以

即因此不存在满足

所以区间不是函数区间.

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