题目内容
【题目】设函数的定义域为,对于区间,若满足,则称区间为函数的区间.
(1)证明:区间是函数的区间;
(2)若区间是函数的区间,求实数的取值范围;
(3)已知函数在区间上的图象连续不断,且在上仅有个零点,证明:区间不是函数的区间.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)根据题中定义代入验证即可证出;
(2)根据题中的新定义可得,由在上单调递减,可得,只需即可求解.
(3)利用零点存在定理可得函数在上至少存在两个零点,由题意可得函数在上不存在零点,由,可得,,从而可得,结合定义即可求解.
(1)设,若,则
所以,,
取,满足定义
所以区间是函数的区间,
(2)因为区间是函数的区间,
所以使得,
因为在上单调递减,
所以,
所以,,,
故所求实数的取值范围为,
(3)因为,
所以在上存在零点,
又因为,
所以函数在上至少存在两个零点.
因为函数在区间上仅有个零点.
所以在上不存在零点.
又因为,所以,,
所以,,
即因此不存在满足,
所以区间不是函数的区间.
练习册系列答案
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