Question

15．设△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C）．
（1）求∠C的值；
（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和及诱导公式结合三角形公式可得cosC，可得答案；
（2）由余弦定理可得b值，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C），
∴2cos（A-B）=1+4（-cosB）（-cosA）=1+4cosAcosB，
∴2cosAcosB+2sinAsinB=1+4cosAcosB，
∴sinAsinB-cosAcosB=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=-（sinAsinB-cosAcosB）=-$\frac{1}{2}$，
∴∠C=120°；
（2）∵a=5，c=7，∠C=120°，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
代入数据可得49=25+b²+5b，解得b=3，或b=-8（舍去），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和面积公式以及三角函数公式，属中档题．