题目内容
20．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{sinx+2cosx=\frac{\sqrt{10}}{2}}\\{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1}\end{array}\right.$．分析 方程组利用代入消元法求出解即可．
解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{sinx+2cosx=\frac{\sqrt{10}}{2}①}\\{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1②}\end{array}\right.$，
由①得：sinx=$\frac{\sqrt{10}}{2}$-2cosx③，
把③代入②得：（$\frac{\sqrt{10}}{2}$-2cosx）2+cos2x=1，即10cos2x-4$\sqrt{10}$cosx+3=0，
解得：cosx=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或cosx=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
若cosx=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，可得sinx=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
若cosx=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，可得sinx=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
则方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{sinx=-\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosx=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cosx=\frac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$．
点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
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