题目内容
【题目】在如图所示的几何体中, ,
,
,
,
,二面角
的大小为
.
(1)求证: 平面
;
(2)求平面与平面
所成的角(锐角)的大小;
(3)若为
的中点,求直线
与平面
所成的角的大小.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知可得AC⊥CD,AC⊥CB,即∠BCD为二面角B﹣AC﹣E的平面角,即∠BCD=60°,求解三角形可得BD⊥DC,再由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCD,得到AC⊥BD,进一步得到BD⊥平面ACDE;
(Ⅱ)由BD⊥平面ACDE,得BD⊥DC,BD⊥DE,可得DB,DC,DE两两垂直,分别以DB,DC,DE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,得到平面BAE与平面BCD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得平面BCD与平面BAE所成的角;
(Ⅲ)若F为AB的中点,由(II)可得,进一步得到
,由已知可得平面BDE的一个法向量为
,由
与
所成角的余弦值的绝对值可得直线EF与平面BDE所成角的大小.
试题解析:
(1)因为,则
,
,
所以为二面角
的平面角,即
,
在中,
,
,
,
所以,所以
,即
,
由,
,且
,可知
平面
,
又平面
,所以
,
又因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)由平面
得
,
,又
,即
,
,
两两垂直,
则以,
,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
由(I)知, 则
,
,
,
由得
,
依题意,
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,不妨设
,可得
,
由平面
可知平面
的一个法向量为
设平面与平面
所成的角(锐角)为
,
所以,于是
,
所以平面与平面
所成的角(锐角)为
.
(3)若为
的中点,则由(II)可得
,所以
,
依题意平面
,可知平面
的一个法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,则
,所以直线
与平面
所成角的大小
.
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