题目内容
给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是
（1）当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P则焦点在y轴上且过点P抛物线的标准方程是x2=
y．
（2）若直线l1：2kx+（k+1）y+1=0与直线l2：x-ky+2=0垂直，则实数k=1；
（3）已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
，则a36=4
（4）对于一切实数x，令[x]大于x最大整数，例如：[3.05]=3，[
]=1，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数，若an=f（
）（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，则S50=145．
（1）（3）
（1）（3）
（1）当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P则焦点在y轴上且过点P抛物线的标准方程是x2=
| 4 |
| 3 |
（2）若直线l1：2kx+（k+1）y+1=0与直线l2：x-ky+2=0垂直，则实数k=1；
（3）已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
| 1 |
| 9 |
（4）对于一切实数x，令[x]大于x最大整数，例如：[3.05]=3，[
| 5 |
| 3 |
| n |
| 3 |
分析：（1）求出直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过P点，设出焦点在y轴上的抛物线标准方程，代入点P坐标即可；
（2）由直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0，求出k的值；
（3）由ap+aq=ap+q，得an=na1，再由a1得a36；
（4）由an=f（
）=[
]（n∈N*），可得S50=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16，计算出结果来．
（2）由直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0，求出k的值；
（3）由ap+aq=ap+q，得an=na1，再由a1得a36；
（4）由an=f（
| n |
| 3 |
| n |
| 3 |
解答：解：（1）∵直线（a-1）x-y+2a+1=0，
∴a（x+2）-x-y+1=0，∴
，
解得
，
∴直线恒过（-2，3）点；
设焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x2=2py，
则（-2）2=2p×3，解得p=
，
∴抛物线方程为x2=
y，即（1）正确；
（2）若直线l1：2kx+（k+1）y+1=0与直线l2：x-ky+2=0垂直，则2k+（k+1）•（-k）=0，
即k2-k=0，解得k=0或k=1，故（2）错误；
（3）若ap+aq=ap+q，则an=na1，∴由a1=
可得a36=4，故（3）正确；
（4）∵an=f（
）=[
]（n∈N*），
∴S50=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16=3×
=408，∴（4）错误．
综上，正确命题的序号是（1）（3）．
故答案为：（1）（3）
∴a（x+2）-x-y+1=0，∴
|
解得
|
∴直线恒过（-2，3）点；
设焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x2=2py，
则（-2）2=2p×3，解得p=
| 2 |
| 3 |
∴抛物线方程为x2=
| 4 |
| 3 |
（2）若直线l1：2kx+（k+1）y+1=0与直线l2：x-ky+2=0垂直，则2k+（k+1）•（-k）=0，
即k2-k=0，解得k=0或k=1，故（2）错误；
（3）若ap+aq=ap+q，则an=na1，∴由a1=
| 1 |
| 9 |
（4）∵an=f（
| n |
| 3 |
| n |
| 3 |
∴S50=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16=3×
| 16×17 |
| 2 |
综上，正确命题的序号是（1）（3）．
故答案为：（1）（3）
点评：本题通过命题真假的判定，考查了数列与函数的综合运用，以及直线方程的有关知识，是容易出错的题目．
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的导函数，令
，
，则
②若
，则函数y＝f（x）是以4为周期的周期函数；
的图象关于点
对称，则
的值为
；
，则函数
是以4为周期的周期函数；
中，
，
是其前
项和，且满足
，则数列
的最小值为2．
，f′（x）为f（x）的导函数，令a=log32，
，则f（a）＜f（b）
，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
Sn+2，则数列{an}是等比数列；
，f′（x）为f（x）的导函数，令a=log32，
，则f（a）＜f（b）
，则函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
Sn+2，则数列{an}是等比数列；